Dziś jest wtorek, 15 październik 2019 r.
Energoelektronika.pl na stronach Facebook REKLAMA MAPA SERWISU KONTAKT
Strona główna Załóż konto Artykuły branżowe Katalog firm Seminaria FAQ Kalendarium Słownik Oferta
Wyszukaj
1USD 3.8958 -0.48% 1EUR 4.2969 -0.3% 1GBP 4.8998 +0.14%
Zaloguj się
Login (adres e-mail):
Haslo:
  Rejestracja
  Zapomniałem hasła
Reklama

Aktualności
Przyszłość sektora motoryzacji w Polsce ? raport Banku Pekao S.A.
więcej
32 edycja targów Energetab 2019 juz za cztery tygodnie
więcej
Nowy cykl szkoleń praktycznych związanych z programowaniem sterowników marki Siemens
więcej
Przed nami 32. edycja targów ENERGETAB 2019
więcej

Zobacz archiwum

Kalendarium
17 październik 2019
72 edycja Seminarium dla Służb Utrzymania Ruchu 
więcej
23 październik 2019
LUMENexpo Targi Techniki Świetlnej  
więcej
Newsletter
Jeżeli chcesz otrzymywać aktualne informacje o wydarzeniach w branży.
Podaj e-mail do subskrypcji:


Artykuły branżowe
10 październik 2011.

Metoda upraszczania liniowych modeli dynamiki gwarantująca stabilność uzyskiwanego modelu

1. Wstęp

Istnieje wiele metod upraszczania liniowych modeli dynamiki i problematyce tej poświęcono szereg artykułów i zbiorczych monografii, przytoczono tu oczywiście tylko kilka pozycji [1, 2, 3, 4] z bardzo długiej ich listy. Na ogół metody te nie gwarantują stabilno ści uzyskiwanych modeli uproszczonych, mimo iż modele upraszczane, to jest "wyjściowe" są stabilne; taka sytuacja ma miejsce na przykład przy stosowaniu metody Pad'e, metody ułamków łańcuchowych, lub metody momentów [1]. Naraża to użytkownika na dokonywanie zmian postaci poszukiwanego modelu uproszczonego, zmiany założeń dotyczących jego stosowalności, lub konieczność użycia innej metody, a zawsze na stratę czasu. W wymienionych tu metodach "klasycznych" postulatu koniecznej stabilności nie udaje się uwzględnić i niechaj to usprawiedliwi próbę opracowania metody prezentowanej w niniejszej pracy.
W przypadku wielu metod postać modelu uproszczonego przyjmuje się w sposób arbitralny. Postąpimy tu w identyczny sposób wprowadzając model uproszczony trzeciego rzędu o transmitancji:

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia statycznego, a1 i a2 - parametrami dynamiki, T - współczynnikiem skali czasu. Taka postać modelu uproszczonego uwzględnia wszystkie rodzaje możliwych biegunów i umożliwia na przykład łatwy dobór optymalnych parametrów regulatora PID, przy wykorzystaniu metody redukcji zer i biegunów. Warto też nadmienić, że takie cechy modelu jak jego zapas stabilności modułu i fazy, typ biegunów i wielkość przeregulowania są od współczynnika skali czasu niezależne a czas regulacji jest do niego proporcjonalny. Ułatwia to dokonywanie szeregu analiz. Parametry modelu uproszczonego wyznaczymy dobierając je w taki sposób, by zapewnić identyczny zapas stabilności modułu i fazy modelu wyjściowego i uproszczonego (co gwarantuje stabilność tego ostatniego, jeśli stabilny jest model wyjściowy), zachowując jednocześnie wartość współczynnika wzmocnienia statycznego i dobierając odpowiednio skalę czasu.

2. Obliczenie parametrów a1 i a2 modelu uproszczonego

Wolno przyjąć, że model o transmitancji

został zrealizowany w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym;

a zapas stabilności modułu i fazy oblicza się dla transmitancji

Dla modelu wyjściowego (2) zapasy te zostały obliczone i są znane. Dla modelu uproszczonego (1) są one niezależne od współ- czynnika skali czasu T i tym samym wolno przyjąć:

lub

Zapas stabilności modułu przy w2 = a 1łatwo obliczyć jako:

a zapas fazy:

przy dodatkowym warunku

skąd po wyeliminowaniu pulsacji w i prostych przekształceniach:

Znając wartości x0 i tgØ dla modelu wyjściowego (2) można wyznaczyć parametry a2 i a1 gwarantujące stabilność modelu uproszczonego. Przy zachowaniu identycznej wartości współ- czynnika wzmocnienia k w obu modelach pozostaje już tylko wyznaczenie odpowiedniej wartości współczynnika skali czasu T. W pewnych warunkach można postulować zapewnienie zgodności zachowań modelu wyjściowego i uproszczonego dla czasów długich (stan bliski ustalonemu), to jest dla małych wartości operatora s i wtedy:

ale taka metoda nie zawsze jest najkorzystniejsza, zauważymy bowiem, że w przypadkach, gdy B1 > A 1 prowadzi do modelu uproszczonego niestabilnego, a jeśli x0 = 0, to modelu uproszczonego nie da się wyznaczyć. Założymy więc dalej, że transmitancja uproszczonego modelu (2) nie posiada miejsc zerowych, a do metody postępowania w innych warunkach jeszcze powrócimy.

3. Błąd modelu uproszczonego

Błąd modelu uproszczonego, czyli różnica reakcji modelu wyjściowego ym i modelu uproszczonego na sygnał x(t) wynosi:

Po wykorzystaniu zależności (8), (9) i niewielkim uproszczeniu otrzymuje się wzór przybliżony:

Ponieważ w większości przypadków sygnał ym(t) jest stosunkowo "gładki", zatem błąd jest zależny w głównej mierze od wielkości drugiej i trzeciej pochodnej sygnału wyjściowego ym(t) , oraz od wielkości różnic współczynników d2 = a 2T2 - A 2 i d 3 = T3 -A 3 modeli. Taka sytuacja ma miejsce w przypadku, gdy transmitancja modelu wyjściowego nie posiada zer.

4. Przykłady uproszczeń modeli o transmitancji nie posiadających zer

Jako pierwszy przykład rozpatrzymy grupę modeli Strejca o transmitancjach:

dla rzędów n = 4,5, ... 8. Modele te uprościmy podaną metodą do modeli trzeciego rzędu (1). Wyniki obliczeń zapasów stabilności modułu, fazy, parametrów modelu uproszczonego, oraz różnic d2 i d3 zestawiono w tabeli 1.


Tab. 1. Zestawienie parametrów modeli uproszczonych w przypadku wyjściowego modelu Strejca, przy k = 1, oraz T1 = 1s

Rosnące ze wzrostem rzędu dynamiki n wielkości modułów różnic d2 i d3 pozwalają spodziewać się większych błędów modelu uproszczonego, a symulowany eksperyment, którego wyniki ilustrują wykresy pokazane na rys. 1 prognozę tą potwierdza.


Rys. 1. Przebiegi charakterystyk skokowych y(t ), ym (t ) modeli użytych w eksperymencie pierwszym i błędów D(t ) modeli uproszczonych

W drugim przykładzie modele wyjściowe czwartego rzędu o jednakowych parametrach A3 = A4 = 1, x0 = - 0.1 zastąpiono uproszczonymi modelami trzeciego rzędu o parametrach wyznaczonych z wykorzystaniem omówionej metody. Wartości pozosta łych parametrów zestawiono w tabeli 2.


Tab. 2. Zestawienie parametrów modeli użytych w eksperymencie drugim

W tym przypadku zmiany wielkości różnicy d2 są niewielkie i błędy modeli uproszczonych w warunkach skoku jednostkowego na wejściu także nie wiele się różnią, co ilustrują przebiegi pokazane na rys. 2.


Rys. 2. Przebiegi charakterystyk skokowych y(t ), ym(t ) modeli użytych w eksperymencie drugim


Rys. 3. Charakterystyki skokowe oraz częstotliwościowe modelu o transmitancji K(s)= exp (-s) (a) i modeli uproszczonych uzyskanych metodą Pad'e (b), oraz metodą prezentowaną w artykule (c)

W trzecim eksperymencie przyjęto model wyjściowy o transmitancji K(s)=exp(-s) dla którego x0 = -0.5 , oraz tg& Otrzymano model uproszczony o transmitancji:

inny, niż w przypadku zastosowania np. metody Pad'e. Odpowiedzi skokowe, oraz charakterystyki częstotliwościowe modelu wyjściowego (a), modelu Pad'e (b), oraz modelu (13) (c) pokazano na rys. 3.

5. Postępowanie w przypadku, gdy transmitancja modelu wyjściowego posiada zera

Jeśli transmitancja modelu upraszczanego posiada postać jak we wzorze (2), to można podjąć próbę wyznaczania parametrów modelu uproszczonego według podanego sposobu, ale bez gwarancji pełnego sukcesu. Nawet w przypadku uzyskania stabilnego modelu uproszczonego dobór współczynnika skali czasu T według wzoru (9) może się okazać niewłaściwy. Dowodzi tego przykład modelu wyjściowego o transmitancji:

dla którego x 0 = -0.319, tg Φ=1.026 a uzyskany model uproszczony przyjmuje postać:


Rys. 4. Charakterystyki skokowe modeli (14) (a) i odpowiadających mu modeli uproszczonych (b,c) oraz modelu (16) i odpowiadających mu modeli uproszczonych (d,e)

Z przebiegu zdjętych charakterystyk skokowych obu modeli (rys. 4) - wykres (a) dla modelu pełnego (14) i wykres (b) dla modelu (15) wynika, że w tym przypadku należało by przyjąć współczynnik skali czasu około 1.73 razy mniejszy od wyznaczonego ze wzoru (9). Autorowi nie jest znana prosta, analityczna metoda wyznaczania odpowiedniej wartości T, ale już w przypadku transmitancji modelu pełnego o postaci:

prezentowana metoda nie prowadzi do celu. Skuteczną wydaje się metoda upraszczania modelu polegająca na rozpatrzeniu modelu (2) bez zer transmitancji (B1= B2=...Bm =0) i uzupełnieniu uzyskanego modelu uproszczonego (1) o licznik taki, jak w modelu (2). Jest to możliwe tylko wtedy, gdy m ≤3 . Uzyskane rezultaty dla obu modeli (14) i (15) ilustrują wykresy (c) dla modelu (14), oraz pary przebiegów y(t), ym(t), oznaczone jako (d) w przypadku modelu (16) ze znakiem (+) w liczniku i odpowiednio jako (e), przy znaku (-) w liczniku transmitancji. Uzyskane modele uproszczone przy takiej metodzie są stabilne, lecz ich dokładność jest mniejsza, niż w przypadku modeli uproszczonych dla transmitancji bez zer licznika, a są także bardziej skomplikowane niż model (1).

6. Podsumowanie
Każda metoda upraszczania modeli dynamiki posiada pewne wady i pewne zalety. Podstawową zaletą metody prezentowanej w niniejszej pracy jest gwarantowana stabilność uzyskiwanego modelu i stosunkowo niski rząd jego dynamiki. Wadą wydaje się konieczność wyznaczania zapasu stabilności modułu i fazy modelu, co wymaga zwykle użycia odpowiednich programów komputerowych, konieczna jest więc znajomość liczbowych wartości parametrów modelu pełnego.

7. Literatura

[1] Halawa J.: Metody wyznaczania transmitancji uproszczonych i ich zastosowania w automatyce i elektroenergetyce. Politechnika Wrocławska, Instytut Cybernetyki Technicznej, Prace Naukowe 1991, Seria Monografie Nr 21.
[2] Layer E.: Modelling of Simplified Dynamical Systems. Berlin, Springer Verlag 2002.
[3] Rydel M. , Stanisławski W.: Problemy redukcji złożonych modeli obiektów sterowania. Pomiary Automatyka Kontrola Nr 2/2010.
[4] Żuchowski A.: Modele dynamiki i identyfikacja. Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, Seria Tempus, 2003.

Prof. dr hab. inż. Adam ŻUCHOWSKI
Profesor zwyczajny zatrudniony w Katedrze Sterowania i Pomiarów w Zachodniopomorskim Uniwersytecie Technologicznym. Ze szkolnictwem wyższym związany zawodowo od 1955 roku (Politechnika Wrocławska, Politechnika Szczecińska). Jest współ- twórcą polskiej szkoły miernictwa dynamicznego, posiada w dorobku około 350 publikacji. W kwietniu 2010 roku upłynęło 55 lat jego działalności naukowej.
e-mail: adam.zuchowski@zut.edu.pl

Źródło: PAK
O nas  ::  Regulamin  ::  Polityka prywatności (Cookies)  ::  Reklama  ::  Mapa stron  ::  FAQ  ::  Kontakt
Ciekawe linki: www.klimatyzacja.pl  |  www.strony.energoelektronika.pl  |  promienniki podczerwieni
Copyright © Energoelektronika.pl