Dziś jest poniedziałek, 9 grudzień 2019 r.
Energoelektronika.pl na stronach Facebook REKLAMA MAPA SERWISU KONTAKT
Strona główna Załóż konto Artykuły branżowe Katalog firm Seminaria FAQ Kalendarium Słownik Oferta
Wyszukaj
1USD 3.85 -0.17% 1EUR 4.2721 -0.13% 1GBP 5.0527 -0.24%
Zaloguj się
Login (adres e-mail):
Haslo:
  Rejestracja
  Zapomniałem hasła
Reklama

Reklama

Aktualności
Nowy cykl szkoleń praktycznych związanych z programowaniem sterowników marki Siemens
więcej
Produkcja w Polsce w kontekście Czwartej Rewolucji Przemysłowej
więcej
32 edycja targów Energetab 2019 juz za cztery tygodnie
więcej
IIX edycja Targów Energetycznych ENERGETICS już w listopadzie!
więcej

Zobacz archiwum

Kalendarium
12 grudzień 2019
XII EDYCJA SEMINARIUM Z ZAKRESU "Eksploatacji urządzeń elektrycznych w strefach zagrożenia wybuchem Ex ATEX" 
więcej
Newsletter
Jeżeli chcesz otrzymywać aktualne informacje o wydarzeniach w branży.
Podaj e-mail do subskrypcji:


Artykuły branżowe
5 marzec 2012.

Zastosowanie podwójnego szeregu Fouriera do analizy matrycowo-reaktancyjnego przekształtnika częstotliwości prądu przemiennego

Zastosowanie podwójnego szeregu Fouriera do analizy matrycowo-reaktancyjnego przekształtnika częstotliwości prądu przemiennego

1. Wprowadzenie

W układach prądu przemiennego powszechnie stosowane są przekształtniki elektroenergetyczne, wykorzystywane do sterowania napięć przemiennych. Przekształtniki te umożliwiają ekonomiczne przekształcanie i sterowanie przepływem energii do odbiorników. Przy analizie sterowania układów elektroenergetycznych wymaga się aby układ przekształtnikowy zapewniał pożądane przekształcanie energii oraz wyeliminował lub ograniczył niekorzystne oddziaływanie na sieć zasilającą. Rozwiązania takie moż- na znaleźć analizując jedno- i trójfazowe układy bazujące na strukturach impulsowych sterowników matrycowo reaktancyjnych [4] prądu przemiennego. Układy MRFC umożliwiają regulację zarówno częstotliwości napięcia wyjściowego jak również warto ści tego napięcia, z możliwością jego podwyższania [5, 6, 7]. Modele matematyczne przekształtników impulsowych są szeroko wykorzystywane do analizy teoretycznej właściwości takich układów. Analiza stanów ustalonych i przejściowych dla układów przekształtników sprowadza się do rozwiązywania niestacjonarnych układów równań różniczkowych tej postaci:


gdzie X(t) to wektor zmiennych stanu, A(t) macierz obwodu, a B(t) wektor wymuszeń. Rozwiązanie (1) można znaleźć za pomocą metod analitycznych [8, 9, 10], jak również za pomocą metod numerycznych, poprzez symulacje analizy komputerowej. Metody numeryczne mają jednak swoje ograniczenia, otrzymywane za ich pomocą rezultaty określają co najwyżej kilka przebiegów pracy przekszta łtnika. Dopiero rezultaty uzyskiwane w metodach analitycznych pozwalają na dokładne określenie procesów zachodzących w układzie.
Artykuł dotyczy przedstawienia metody modelowania matematycznego MRFC w stanie ustalonym z wykorzystaniem podwójnych szeregów Fouriera [3]. Rozwiązanie niestacjonarnych równa ń różniczkowych (1) jest otrzymane przy wykorzystaniu metody Galerkina i rozszerzeniu przestrzeni równań do dwóch zmiennych czasu. Rozszerzenie to zostaje wprowadzone przy założeniu, że łączniku na wejściu i wyjściu źródeł prądowych i napięciowych, działają z różnymi pulsacjami i nie istnieje miedzy okresami ich pracy wymierna zależność. Rezultaty obliczeń zaprezentowane zostały na przykładzie MRFC i porównane ze znaną metodą numeryczną.

2. Model matematyczny

W celu przedstawienia zaproponowanej metody zostanie przeprowadzona analiza wybranego przekształtnika MRFC z obciążeniem RL, pokazanego na rysunku 1. W każdym okresie TSeq istniej ą dwa przedziały czasu, tS i tL . W przedziale tS łączniki o połączeniu synchronicznym (SCS z ang. synchronous connected switches) są wyłączone, natomiast łączniki o połączeniu matrycowym MCS z ang. matrix connected switches) działają zgodnie ze strategią sterowania rysunek 2.


Rys. 1. Matrycowo - reaktancyjny przekształtnik częstotliwości z obciążeniem RL

Rys. 2. Ogólna postać strategii sterowania

Funkcja stanu łączników jest zdefiniowana, w taki sposób, że sjk=1 gdy łącznik jest wyłączony i sjk=0 gdy łącznik jest włączony, gdzie j = {a, b, c}, k = {A, B, C}. W tego typu MRFC wykorzystuje się strategię sterowania bazuj ącą na koncepcji niskoczęstotliwościowej macierzy transformacji według Venturiniego [4]. Zmodyfikowana macierz transformacji przyjmuje postać [5]:

DS=tS/TSeq- współczynnik wypełnienia impulsu, ω m = ω L - ω, ω
ωL - pulsacje napięcia odpowiednio na wejściu i wyjściu,
q - współczynnik wzmocnienia.
W celu przeprowadzenie badań dla różnych pulsacji obwodu, macierz M(t) przedstawimy w formie sumy macierzy:


gdzie M ωm(t) jest macierzą z podstawową częstotliwością ω m, której współczynniki są takie jak w (3), a druga macierz M ωδ(t) z częstotliwością ωδma postać

gdzie ω = iωL - ω ; i = 2,3,... qδ - współczynnik wzmocnienia. Wówczas wejściowe i wyjściowe równania prądów i napięć będą przekształcane przez współczynniki macierzy transformacji M(t) z sumą dwóch różnych pulsacji i przyjmują formę:

Należy zauważyć, że podobnie jak w prostszym przypadku macierzy transformacji (3) transformacja (4) daje możliwości zmiany częstotliwości napięcia wyjściowego w MRFC.
Na podstawie metody uśrednionych zmiennych stanu [11], proces w takim układzie można opisać za pomocą niestacjonarnych równań różniczkowych (1), w których wektor zmiennych stanu przyjmuje postać:

oraz macierz obwodu A(t) i wektor wymuszeń B(t) mają postać

gdzie RF1 , RF2 , RF3 rezystancje dławików LF1, LF1 , LF1. Łączniki SJK są idealne, włączają się i wyłączają okresowo, czas przewodzenia jest zależny od wartości funkcji macierzy M(t). Łączniki o połączeniu synchronicznym SS1, SS2, SS3 mają stałe okresy przewodzenia w zależności od wartości współczynnika D. Należy podkreślić również, że macierz A(t) i wektor B(t) mają różne pulsacje.

3. Metoda obliczeniowa

Aproksymacja rozwiązania za pomocą metody Galerkina polega na wprowadzeniu residuum zdefiniowanego jako:


w przedziale 0 ≤t≤T, gdzie T= 2 Π/ω. W residuum (5) wektor zmiennych stanu X(t) zastępuje się nowym wektorem zmiennych zapisanych w formie szeregu funkcyjnego tzw. funkcji wagowych. Następnie w metodzie obliczane są całki z iloczynu residuum i funkcji wagowych. Otrzymywany jest liniowy układ równań, którego współczynniki są rozwiązaniem równania (1) [1, 2]. Obwód jest przełączany z dwoma różnymi częstotliwościami pracy łączników i ich okresy nie są wielokrotnościami. Na tej podstawie uzasadnione jest wprowadzenie drugiej zmiennej czasu τ odpowiadającej drugiej pulsacji obwodu. Wówczas równania (1) z dwoma niezależnymi zmiennymi czasu t i τ przyjmuje postać:

W układzie (6) macierz A(t,τ) odpowiada macierzy A(t), w której wyrażenie ωmt jest zastąpione przez wyrażenie

oraz wyrażenie ω ot przez wyrażenie

gdzie i = 2,3,...
Wówczas residuum (5) przyjmuje w przestrzeni dwóch zmiennych postać:

w przedziałach 0 ≤t≤T, 0≤τ≤Θ, Θ2π/ωL W tym wyrażeniu &the określa okres napięcia na wyjściu , a T okres napięcia na wejściu obwodu. W celu rozwiązania stanu ustalonego dla badanego przekształtnika określamy funkcje wagowe w formie trygonometrycznej:

gdzie n=0, 1, 2, ..., k=0,1,2,...
Równania opisujące stan ustalony w przestrzeni dwóch zmiennych są funkcjami okresowymi, zatem aproksymacja rozwiązania będzie otrzymana za pomocą szeregu funkcji okresowych. W tym celu zamieniamy wektor zmiennych stanu X(t, τ) nowym wektorem , którego komponenty są postaci podwójnych szeregów Fouriera:
gdzie są współczynnikami podwójnych szeregów Fouriera dla napięć i prądów obwodu oraz z=1,..,9 odpowiada elementom w wektorze X (t τ) . Metoda Galerkina polega na określeniu współczynników tak, aby residuum (9) z nowym wektorem zmiennych stanu:
było możliwie najmniejsze. Mnożymy residuum (9) przez funkcje wagowe (7) i całkujemy otrzymane wyrażenie w przedziałach: 0 ≤t≤T, 0≤τ≤Θ


Po obliczeniu całek otrzymujemy rezultaty w formie liniowego układu równań. Rozwiązaniem tych równań są współczynniki podwójnego szeregu Fouriera, wyznaczające równania prądów i napięć obwodu.

4. Rezultaty obliczeń
Rozwiązanie stanu ustalonego dla MRFC z obciążeniem RL zostało wykonane za pomocą programu Mathematica, przy następuj ących parametrach modelu:

Współczynniki podwójnego szeregu Fouriera zostały obliczone dla n=4 i k=4. Na rysunkach 3 i 4 są przedstawione przykładowe przebiegi prądu w dławiku LF1 i napięcia na kondensatorze CL1 dla dwóch okresów, tzn. 0≤τ2Θ0≤t≤2T.


Rys. 3. Przykładowy przebieg stanu ustalonego prądu w dławiku dla dwóch zmiennych czasu



Rys. 4. Przykładowy przebieg stanu ustalonego napięcia na kondensatorze

Aby zweryfikować otrzymane rezultaty został obliczony stan ustalony dla t =τ . Porównano otrzymane wyniki z wynikami uzyskiwanymi w metodzie numerycznej, wbudowanej w programie Mathematica. W tym celu została wykorzystana standardowa funkcja NDSolve, która jest przeznaczona do rozwiązywania równań różniczkowych. Przebiegi czasowe dla przykładowego prądu i napięcia zostały przedstawione i porównane na rysunkach 5 i 6. Przy liczbie funkcji aproksymującej n=4 i k=4 otrzymane rezultaty w opracowanej metodzie są już zupełnie zbieżne z metodą numeryczną.

Rys. 5. Przykładowy przebieg stanu ustalonego prądu w dławiku


Rys. 6. Przykładowy przebieg stanu ustalonego napięcia na kondensatorze
Otrzymane rozwiązania stanu ustalonego prądów i napięć badanego trójfazowego przekształtnika MRFC zostały zaprezentowane na rysunkach 7 i 8.

Rys. 7. Stan ustalony prądu w dławikach LF1, LF2, LF3


Rys. 8. Stan ustalony napięcia na kondensatorach CL1, CL2, CL3
Takie same rezultaty zostały otrzymane w metodzie numerycznej. Należy podkreślić, że za pomocą zaproponowanej metody otrzymujemy rozwiązania z pominięciem stanu przejściowego.

5. Podsumowanie

Przedstawiona metoda analityczno-numeryczna przeznaczona jest do wyznaczania procesów ustalonych w przekształtnikach prądu przemiennego, opisywanych niestacjonarnymi i okresowymi równaniami różniczkowymi. Równania różniczkowe są rozszerzone o dodatkowe, niezależne zmienne czasu, odpowiadające różnym pulsacją w obwodzie. Rozwiązanie jest otrzymane przy założeniu niewymiernej relacji pomiędzy okresem przełączania oraz okresem napięcia zasilającego. Dokładność metody zależy od liczby funkcji aproksymujących. Przeprowadzone zostały obliczenia porównawcze procesu ustalonego w MRFC z obciążeniem RL, za pomocą proponowanej metody oraz metody numerycznej wbudowanej w programie Mathematica. Otrzymane rezultaty obliczeń potwierdzają zgodność zaproponowanej metody z metodą numeryczną.
Autor jest stypendystą w ramach Poddziałania 8.2.2 "Regionalne Strategie Innowacji", Działania 8.2 "Transfer wiedzy", Priorytetu VIII "Regionalne Kadry Gospodarki" Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Unii Europejskiej i z budżetu.

6. Literatura

[1] Korotyeyev I., Zięba B.: Mathematical modelling of steady-state processes in AC/AC converters using Galerkins method, Tehnicna Elektrodinamika : Silova elektronika ta energoefektivnist, 2009, no 3.
[2] Korotyeyev I., Zięba B.: Modelowanie matematyczne procesów w przekształtnikach prądu przemiennego za pomocą metody Galerkina i podwójnych szeregów Fouriera, Przegląd Elektrotechniczny, 2010 nr 2.
[3] Tolstov G. P.: Szeregi Fouriera, PWN, 1954.
[4] Venturini M., Alesina A.: The generalized transformer: a new bidirectional sinusoidal waveform frequency converter with continuously adjustable input power factor, Conf. Record,PESC'80, 1980.
[5] Fedyczak Z., Szcześniak P., Korotyeyev I.: New family of matrixreactance frequency converters based on unipolar PWM AC matrixreactance choppers, Proc. of EPEPEMC', 2008.
[6] Fedyczak Z., Szcześniak P., Klytta M.: Matrix-reactance frequency converter based on buck-boost topology, Proc. of EPE-PEMC'06, 2006.
[7] Fedyczak Z., Szcześniak P., Korotyeyev I.: Generation of matrixreactance frequency converters based on unipolar matrix-reactance choppers, Proc. PESC'08, 2008.
[8] Korotyeyev I, Fedyczak Z.: Analysis of transient and steady-state processes in three-phase symmetric matrix-reactance converter system, Tehnična Elektrodinamika: Silova elektronika ta energoefektivnist'. 2008, no 2.
[9] Korotyeyev I, Fedyczak Z.: Steady and transient state modelling methods of matrix-reactance frequency converter with buck-boost topology, COMPEL, The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 2009.
[10] Korotoyeyev I., Klyta M., Zięba B.: Analize of the steady-state in AC/AC converters, Tehnicna Elektrodinamika: Problemi sucasnoi elektrotehniki, 2008.
[11] Middellbrok R. D., Cuk S.: A general unified approach to modelling switching-converter power stages, IEEE Power Electronics Spec. Conf. Rec., 1976.
Źródło: PAK
O nas  ::  Regulamin  ::  Polityka prywatności (Cookies)  ::  Reklama  ::  Mapa stron  ::  FAQ  ::  Kontakt
Ciekawe linki: www.klimatyzacja.pl  |  www.strony.energoelektronika.pl  |  promienniki podczerwieni
Copyright © Energoelektronika.pl