1. Wprowadzenie
W wielu obszarach przemysłu, np. lotnictwie, poszukuje się rozwiązań
konstrukcyjnych, które jednocześnie są lekkie oraz charakteryzują się wysokim
współczynnikiem tłumienia drgań. Trudne warunki eksploatacji, np. w atmosferze
ziemskiej lub w przestrzeni kosmicznej wymuszają na projektantach opracowanie
konstrukcji charakteryzującej się odpowiednimi właściwościami dynamicznymi,
pozwalającej na utrzymanie niezmiennej pozycji w warunkach oddziaływania
zakłóceń zewnętrznych oraz o małej masie, w celu redukcji kosztów eksploatacji.
Wymagania te są przeciwstawne, gdyż lekka konstrukcja charakteryzuje się zwykle
niskim współczynnikiem tłumienia wewnętrznego [13]. Jednym z możliwych rozwiązań
konstrukcyjnych spełniających oba wymagania jest kratownica, w której jeden lub
więcej prętów zostało zastąpionych aktywnymi prętami, zawierającymi aktuator
piezoelektryczny. Zasadniczym celem wprowadzania aktywnych prętów jest
wytwarzanie dodatkowych sił, działających w odpowiednio wybranych węzłach
kratownicy. Sygnały sterujące aktywnymi prętami są wyznaczane na podstawie
pomiaru przemieszczeń oraz prędkości również wybranych węzłów kratownicy. Biorąc
pod uwagę fakt, że pomiar wymaga zastosowania kosztownych przetworników
pomiarowych, najczęściej stosuje się jedynie pomiar przyspieszenia tych węzłów.
W celu wyznaczenia wartości aktualnej siły generowanej przez aktywny pręt,
realizowany jest pomiar tej siły. Ideowy schemat aktywnej kratownicy
przedstawiono na rys. 1 [4].
Rys. 1. Schemat ideowy inteligentnej kratownicy
W literaturze kratownicę z zaimplementowanym materiałem piezoelektrycznym
nazywa się inteligentną kratownicą (ang. smart truss). W wielu ośrodkach
badawczych na świecie prowadzone są eksperymenty laboratoryjne i symulacyjne w
obszarze sterowania inteligentnymi kratownicami. W [2] przedstawiono wyniki
badań laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem algorytmu
LQR. W konstrukcji kratowej, złożonej z 13 prętów, zaimplementowano aktywny pręt
z aktuatorem piezoelektrycznym, który umożliwiał generowanie maksymalnej siły o
wartości 110 N, którego maksymalna zmiana długości wynosiła 80 µm. Zastosowanie
układu sterowania pozwoliło na redukcję amplitudy o 6 dB i 9 dB, odpowiednio dla
pierwszego i drugiego modu drgań. W [15] przedstawiono wyniki badań
laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem odpowiednio
zaprojektowanego regulatora całkującego. Kratownica zbudowana była z 161 prętów,
z których jeden został zastąpiony aktywnym prętem. Aktywny pręt zawierał
aktuator piezoelektryczny P-843, który umożliwiał generowanie maksymalnej siły o
wartości 1500 N, którego maksymalna zmiana długości wynosiła 90 µm. Zastosowanie
układu sterowania pozwoliło na redukcję amplitudy drgań o średnio 11-14 dB. W
[7] przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z
wykorzystaniem algorytmu LQR. W konstrukcji kratowej, składającej się z 78
prętów, zaimplementowano dwa aktywne pręty z aktuatorami piezoelektrycznymi.
Autorzy uzyskali w eksperymentach zwiększenie tłumienia od 55 % do 137 %, w
zależności od modu drgań.
W ramach artykułu przedstawiono wyniki badań
symulacyjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem algorytmu LQR.
Algorytm sterowania LQR został wybrany ze względu na to, że sygnał sterujący
jest generowany na podstawie stanu całego obiektu, czyli przemieszczeń i
prędkości wszystkich węzłów kratownicy oraz charakteryzuje się prostym zapisem
matematycznym. Strukturę kratownicy przyjęto analogiczną jak w badaniach
symulacyjnych układu sterowania modalnego [3].
2. Model matematyczny
2.1. Założenia
2.1.1. Struktura kratownicy
Do badań symulacyjnych przyjęto 2-wymiarową konstrukcję kratową o długości 2
m, szerokości 0,25 m oraz wysokości 0,25 m. Kratownica zbudowana jest z 33
prętów, połączonych ze sobą w 18 węzłach. Kratownica ma 33 stopnie swobody.
Założono, że pręty wykonane są ze stali 45 oraz mają przekrój kołowy o
powierzchni 0,001 m2. Do obliczeń przyjęto następujące właściwości
stali 45: moduł Younga - 2,1X105 MPa oraz gęstość ? 7860
kg/m3. Przyjęto założenie, że węzły nie mają masy. Schemat
modelowanej kratownicy przedstawiono na rys. 2.
Rys. 2. Schemat modelowanej kratownicy
Tab. 1. Parametry aktuatora piezoelektrycznego
| Wielkość |
Symbol |
Jednostka |
Wartość |
| Długość |
L0 |
m |
0,02 |
| Średnica |
d |
m |
0,02 |
| Maksymalna siła generowana |
Fp |
N |
3500 |
| Maksymalna zmiana długośći |
?L0 |
mm |
21 |
| Sztywność |
kp |
N/mm |
165 |
2.1.2. Budowa aktywnego pręta
Do badań symulacyjnych przyjęto, że aktywny pręt zawiera komercyjny aktuator
piezoelektryczny PAHL 18/20 firmy Piezosystem Jena. Podstawowe wielkości
charakteryzujące ten aktuator przedstawiono w tabeli 1 [6].
Założono, że w
badaniach symulacyjnych nie zostaną zamodelowane pozostałe elementy aktywnego
pręta, m.in. łączniki z węzłami kratownicy, sprężyna generująca obciążenie
wstępne. Konstrukcja aktywnego pręta kratownicy jest trudnym zagadnieniem i
stanowi przedmiot badań w wielu laboratoriach. Generowanie siły przez aktywny
pręt możliwe jest wtedy, gdy wyeliminowana zostanie możliwość zmiany wymiarów
aktuatora, przy czym zmiany te są rzędu mikrometrów. Przykłady konstrukcji
aktywnych prętów przedstawiono w [1, 18].
2.2. Model matematyczny kratownicy
2.2.1. Równanie ruchu Równanie ruchu kratownicy [11]:
gdzie: q(t) są to przemieszczenia węzłów kratownicy, u(t) jest to
sygnał sterujący, p(t) - zakłócenie, [M] - macierz bezwładności, [C] - macierz
tłumienia, [Ks] - macierz sztywności, [E] - macierz lokacji sterowań w
strukturze kratownicy.
Zależność (1) to 33 równania różniczkowe. Kratownica
przedstawiona na rys. 2 została zamodelowana w programie MATLAB, co pozwoliło na
wyznaczenie macierzy mas [M] oraz sztywności [Ks]. W dalszych
obliczeniach przyjęto model tłumienia proporcjonalnego, zgodnie z którym macierz
tłumienia [C] jest wyznaczona z zależności [11]:
gdzie: α wymiarowy współczynnik proporcjonalności. Współczynnik
? został wyznaczony ze wzoru:
gdzie: ϒ - bezwymiarowy współczynnik tłumienia, ω - częstość
drgań własnych modelowanej kratownicy. W dalszych obliczeniach przyjęto stałą
wartość współczynnika tłumienia: ϒ = 0,01 oraz wybrano jedną z wyznaczonych
częstości własnych: ω 33 = 4,2207 rad/s.
2.2.2. Model w przestrzeni stanów W projektowaniu algorytmu sterowania LQR
wykorzystywany jest model matematyczny w przestrzeni stanów. Przyjęto więc
następujący wektor stanu x(t) [11]:
gdzie: [A] - macierz stanu, [B] - macierz sterowań, [H] - macierz
zakłóceń.
Konwersja modelu przedstawionego zależnością (1) do postaci
przedstawionej zależnością (3) wiąże się z podwojeniem liczby równań
różniczkowych. W modelu (1) równań było 33, a w modelu (3) tych równań jest już
66. Liczba równań w modelu (3) jest równa wymiarowi wektora stanu n.
2.3. Model matematyczny aktuatora Przyjęto, że aktuator
jest zbudowany w formie stosu, złożonego z określonej liczby płytek
piezoelektrycznych. Schemat pojedynczej płytki przedstawiono na rys. 3.
Rys. 3. Schemat płytki materiału
piezoelektrycznego
Równania wiążące zmienne mechaniczne ze zmiennymi
elektrycznymi dla płytki z rys. 3 [5, 10, 13]:
gdzie: Fp - siła generowana przez piezoelektryk,
kp - sztywność piezoelektryka, Vp - przyłożone napięcie do
piezoelektryka, α - współczynnik proporcjonalności między siłą generowaną przez
piezoelektryk a przyłożonym napięciem do piezoelektryka, Ip -
natężenie prądu w piezoelektryku, C0 - pojemność piezoelektryka.
W
badaniach symulacyjnych założono, że konstrukcja aktywnego pręta uniemożliwia
zmianę wymiarów aktuatora (ΔL = 0), stąd generuje on siłę zgodnie z
zależnością:
Dla przyjętego materiału piezoelektrycznego PZT-5A w aktuatorze
wyznaczono współczynnik proporcjonalności α równy 0,0656 na podstawie zależności
przedstawionej w [5] oraz stałych materiałowych w [16].
3. Algorytm sterowania kratownicą
3.1. Algorytm LQR Przy założeniu pełnej dostępności
pomiarowej wektora stanu x(t), poszukiwane prawo sterowania ma postać [17]:
gdzie: [K] - macierz wzmocnień, [R] - macierz chwilowych kosztów
odchyłki sterowania od wartości zerowych, [P] - symetryczne, dodatnio określone
rozwiązanie równania Riccatiego.
Optymalne wartości wzmocnień w macierzy [K]
wyznacza się na podstawie minimalizacji wskaźnika jakości:
gdzie: Q - macierz chwilowych kosztów odchyłki wektora stanu od
wartości zerowych.
Schemat blokowy układu sterowania przedstawiono na rys. 4.
Rys. 4. Schemat blokowy układu sterowania z algorytmem
LQR
3.2. Algorytm LQR z obserwatorem stanu Techniczna
realizacja algorytmu przedstawionego w punkcie 3.1 wymaga pomiaru całego wektora
stanu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów kratownicy.
Wyeliminowanie tej konieczności jest możliwe dzięki zastosowaniu algorytmu
sterowania, w którym wektor stanu jest odtwarzany na podstawie pomiaru
sterowania oraz wyjść z kratownicy. Poszukiwane prawo sterowania ma postać
Jednym z możliwych rozwiązań jest zastosowanie pełnego
obserwatora Luenbergera do estymacji wektora stanu. Schemat blokowy algorytmu
sterowania, z odtwarzaniem wektora stanu, został przedstawiony na rys. 5
[12].
Równanie obserwatora z rys. 5:
gdzie: [L] - macierz wzmocnień obserwatora, y(t) jest to wyjście
z układu.
Przy założeniu, że [D] = 0, równania układu zamkniętego z
regulatorem LQR i pełnym obserwatorem stanu [8]:
Rys. 5. Schemat blokowy układu sterowania z algorytmem LQR i
pełnym obserwatorem stanu Luenbergera
gdzie: w(t) - zakłócenie działające na obiekt.
4. Badania symulacyjne kratownicy
4.1. Założenia
Charakterystyka inteligentnej kratownicy
jako obiektu sterowania: a) wielkość wyjściowa y(t): przemieszczenie 18 węzła w
kierunku osi y (rys. 2). Węzeł ten został wybrany ze względu na to, że jest
jednym z dwóch węzłów najbardziej oddalonych od utwierdzenia kratownicy. W
związku z tym przyjęto założenie, że wartości przemieszczenia tego węzła powinny
być większe od wartości przemieszczenia węzłów 2-16 w przypadku działania
zakłócenia w(t), którego przebieg został przedstawiony na rys. 6,
b) wielkość
zadana z(t): 0,
c) zakłócenie zewnętrzne w(t): jest to siła działająca na
węzeł 18 w kierunku osi y. Przebieg zakłócenia przedstawiono na rys. 6.
Rys. 6. Przebieg zakłócenia zewnętrznego
d) w
badaniach symulacyjnych przyjęto 3 przypadki rozmieszczenia aktywnych prętów
(rys. 7):
? dwa aktywne pręty, generujące siłę w węzłach 2 i 3,
? dwa
aktywne pręty, generujące siły w węzłach 3 i 4,
? trzy aktywne pręty,
generujące siły w węzłach 2, 3 i 4.
Wybór lokalizacji aktywnych prętów w
strukturze kratownicy został przyjęty na podstawie analizy odpowiedzi układu
przy różnych lokalizacjach aktywnych prętów. W analizie przyjęto kryterium
najkrótszego czasu, w jakim przemieszczenie węzła 18, które jest odpowiedzią
całego układu, nie będzie przekraczać założonej wartości (±0,0001 m).
Najbardziej optymalne rozmieszczenia aktywnych prętów, ze względu na to
kryterium, zostały przedstawione na rys. 7.
4.2. Wyniki badań symulacyjnych Macierze Q i R mają
postać:
W
celu ustalenia jednakowych mas dla wszystkich zmiennych stanu, czyli
przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów, przyjęto macierz Q jako macierz
diagonalną z wartościami niezerowych elementów wynoszącymi 1. Wartości elementów
macierzy R zostały wyznaczone metodą kolejnych prób [9].
Rys. 7. Rozmieszczenie aktywnych prętów w kratownicy
Rys. 8. Wynik sterowania dla lokalizacji nr
1
Wyznaczone w symulacjach przemieszczenie węzła 18 w kierunki osi y dla
lokalizacji aktywnych prętów z rys. 7 przedstawiono odpowiednio na rys. 8, 10 i
12. Uzyskane w symulacjach wyniki wskazują, że możliwe jest uzyskanie
efektywnego sterowania, dzięki zastosowaniu układu sterowania z algorytmem LQR w
celu generowania sił sterujących w odpowiednio wybranych węzłach kratownicy.
Przebieg sił sterujących, generowanych przez aktywne pręty, przedstawiono
odpowiednio na rys. 9, 11, 13.
5. Podsumowanie Na podstawie badań symulacyjnych oraz
przeglądu literatury, można wyciągnąć następujące wnioski:
-
zastosowanie
aktywnych prętów, generujących siły w wybranych węzłach konstrukcji kratowej,
umożliwia sterowanie drganiami takiej konstrukcji. Należy jednak rozwiązać
problem praktyczny, jakim jest konstrukcja aktywnego pręta, pozwalająca po
przyłożeniu napięcia na generowanie siły przez aktuator piezoelektryczny;
Rys. 9. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr
1
Rys. 10. Wynik sterowania dla lokalizacji nr 2
Rys. 11. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr
2
Rys. 12. Wynik sterowania dla lokalizacji nr 3
Rys. 13. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr
3
- najkrótszy czas, w którym pozycja, wybranego jako wyjście, węzła 18
kratownicy powróciła do stanu przed wystąpieniem zakłócenia w postaci siły (rys.
6) uzyskano dla lokalizacji aktywnych prętów, przedstawionej na rys. 7.
Lokalizacje te charakteryzują się tym, że każdy z aktywnych prętów jest z jednej
strony połączony z utwierdzeniem kratownicy. Należy zaznaczyć, że sformułowane
wnioski są poprawne dla przedstawionych wcześniej założeń dotyczących charakteru
zakłócenia;
- wyniki badań symulacyjnych wskazują na to, że zastosowanie
algorytmu LQR pozwala na efektywne sterowanie inteligentną kratownicą. Jednak
taki algorytm jest trudno realizowalny w rzeczywistości, gdyż wymaga pomiaru
całego wektora stanu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów
kratownicy. Istnieje możliwość wyeliminowania tej konieczności poprzez
generowanie prawa sterowania na podstawie wektora stanu, estymowanego na
podstawie pomiaru sygnału sterującego oraz wybranych wyjść z układu.
Wykonano
w ramach pracy statutowej nr 11.11.130.560. AGH Akademia Górniczo-Hutnicza,
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Automatyzacji Procesów.
Bibliografia 1. Anderson E. H., Moore D. M., Fanson J.
L., Development of an active truss element for control of precision structures.
Optical Engineeing, 1990, vol. 29, nr 11, 1333-1341
2. Bueno D., Marqui C.,
Santos R., Neto C., Lopes V., Experimental active vibration control in truss
structures considering uncertainties in system parameters. Mathematical Problems
in Engineering, 2008.
3. Carvalhal R., Silva S., Lopes V., Modal control
applications in intelligent truss structures. ABCM Symposium Series in
Mechatronics, 2004, vol. 1, 304-310.
4. Grzybek D., Aktuatory
piezoelektryczne w inteligentnych kratownicach. "Pomiary Automatyka Robotyka",
2011, nr 11, 63-67.
5. Grzybek D., Wykorzystanie mechanizmu przetwarzania
energii w materiałach piezoelektrycznych do sterowania drganiami. "Czasopismo
Techniczne", 2011, nr 1, 51-59.
6. [www.piezosystem.com/uplads/media/PAHL_
ds_2010_08_03.pdf].
7. Jing G., Yu M., Yong-yi W., Experimental study on the
mode of active truss. "Energy Procedia-, 2012, nr 17, 24-31.
8. Kaczorek T.,
Teoria sterowania i systemów. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
9. Koziński W.,
Projektowanie regulatorów. Wybrane metody klasyczne i optymalizacyjne. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2004.
10. Lefeuvre E., Sebald G.,
Guyomar D., Lallart M., Richard C., Materials, structures and power interfaces
for efficient piezoelectric energy harvesting. Journal of Electroceram 2009, nr
22, 171-179.
11. Lewandowski R., Dynamika konstrukcji budowlanych.
Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 2006.
12. Ogata K., Matlab for control
engineers. Pearson Prentice Hall, 2008.
13. Qiu J., Jiang H., Ji H., Zhu K.,
Comparison between four piezoelectric energy harvesting circuits. Front. Mech.
Eng. China, 2009, nr 4(2), 153-159.
14. Sciocsio F., Gasbarri P., Marianetti
C., Toglia Ch., Control of vibrations of the international space station with
piezoelectric actuators. International Astronautical Federation, 2005.
15.
Song G., Vlattas J., Johnson S. E., Agraval B. N., Active vibration control af a
space truss using a lead zirconate stack actuator. Preceedings of the
Institution of Mechanical Engineers, 2001, vol. 215, 355-361.
16. Wstęp do
piezoelektroniki. Praca zbiorowa. Wydawnictwa Komunikacjii Łączności. Warszawa
1980.
17. Wysocki M., Sterowanie wielowymiarowe. Projektowanie liniowych
układów stacjonarnych w przestrzeni stanów. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Rzeszowskiej, 2004.
18. Zheng K., Zhang Y., Yang Y., Yan S., Dou L., Chen J.,
Active vibration control of adaptive truss structure using fuzzy neutral
network. Preceedings of Chinese Control and Decision Conference, 2008.
Dariusz Grzybek
AGH Akademia
Górniczo-Hutnicza, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra
Automatyzacji Procesów
|
