Dziś jest sobota, 14 grudzień 2019 r.
Energoelektronika.pl na stronach Facebook REKLAMA MAPA SERWISU KONTAKT
Strona główna Załóż konto Artykuły branżowe Katalog firm Seminaria FAQ Kalendarium Słownik Oferta
Wyszukaj
1USD 3.8234 -0.7% 1EUR 4.2747 -0.23% 1GBP 5.1292 +1.06%
Zaloguj się
Login (adres e-mail):
Haslo:
  Rejestracja
  Zapomniałem hasła
Reklama

Aktualności
Seminarium utrzynia ruchu - Wałbrzych 2019
więcej
Produkcja w Polsce w kontekście Czwartej Rewolucji Przemysłowej
więcej
72 edycja Seminarium dla Służb Utrzymania Ruchu - Kielce - Relacja
więcej
Nowy cykl szkoleń praktycznych związanych z programowaniem sterowników marki Siemens
więcej

Zobacz archiwum

Kalendarium
Newsletter
Jeżeli chcesz otrzymywać aktualne informacje o wydarzeniach w branży.
Podaj e-mail do subskrypcji:


Artykuły branżowe
3 grudzień 2012.

Sterowanie optymalne inteligentną kratownicą

Sterowanie optymalne inteligentną kratownicą

1. Wprowadzenie

W wielu obszarach przemysłu, np. lotnictwie, poszukuje się rozwiązań konstrukcyjnych, które jednocześnie są lekkie oraz charakteryzują się wysokim współczynnikiem tłumienia drgań. Trudne warunki eksploatacji, np. w atmosferze ziemskiej lub w przestrzeni kosmicznej wymuszają na projektantach opracowanie konstrukcji charakteryzującej się odpowiednimi właściwościami dynamicznymi, pozwalającej na utrzymanie niezmiennej pozycji w warunkach oddziaływania zakłóceń zewnętrznych oraz o małej masie, w celu redukcji kosztów eksploatacji. Wymagania te są przeciwstawne, gdyż lekka konstrukcja charakteryzuje się zwykle niskim współczynnikiem tłumienia wewnętrznego [13]. Jednym z możliwych rozwiązań konstrukcyjnych spełniających oba wymagania jest kratownica, w której jeden lub więcej prętów zostało zastąpionych aktywnymi prętami, zawierającymi aktuator piezoelektryczny. Zasadniczym celem wprowadzania aktywnych prętów jest wytwarzanie dodatkowych sił, działających w odpowiednio wybranych węzłach kratownicy. Sygnały sterujące aktywnymi prętami są wyznaczane na podstawie pomiaru przemieszczeń oraz prędkości również wybranych węzłów kratownicy. Biorąc pod uwagę fakt, że pomiar wymaga zastosowania kosztownych przetworników pomiarowych, najczęściej stosuje się jedynie pomiar przyspieszenia tych węzłów. W celu wyznaczenia wartości aktualnej siły generowanej przez aktywny pręt, realizowany jest pomiar tej siły. Ideowy schemat aktywnej kratownicy przedstawiono na rys. 1 [4].


Rys. 1. Schemat ideowy inteligentnej kratownicy

W literaturze kratownicę z zaimplementowanym materiałem piezoelektrycznym nazywa się inteligentną kratownicą (ang. smart truss). W wielu ośrodkach badawczych na świecie prowadzone są eksperymenty laboratoryjne i symulacyjne w obszarze sterowania inteligentnymi kratownicami. W [2] przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem algorytmu LQR. W konstrukcji kratowej, złożonej z 13 prętów, zaimplementowano aktywny pręt z aktuatorem piezoelektrycznym, który umożliwiał generowanie maksymalnej siły o wartości 110 N, którego maksymalna zmiana długości wynosiła 80 µm. Zastosowanie układu sterowania pozwoliło na redukcję amplitudy o 6 dB i 9 dB, odpowiednio dla pierwszego i drugiego modu drgań. W [15] przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem odpowiednio zaprojektowanego regulatora całkującego. Kratownica zbudowana była z 161 prętów, z których jeden został zastąpiony aktywnym prętem. Aktywny pręt zawierał aktuator piezoelektryczny P-843, który umożliwiał generowanie maksymalnej siły o wartości 1500 N, którego maksymalna zmiana długości wynosiła 90 µm. Zastosowanie układu sterowania pozwoliło na redukcję amplitudy drgań o średnio 11-14 dB. W [7] przedstawiono wyniki badań laboratoryjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem algorytmu LQR. W konstrukcji kratowej, składającej się z 78 prętów, zaimplementowano dwa aktywne pręty z aktuatorami piezoelektrycznymi. Autorzy uzyskali w eksperymentach zwiększenie tłumienia od 55 % do 137 %, w zależności od modu drgań.
W ramach artykułu przedstawiono wyniki badań symulacyjnych układu sterowania kratownicą z wykorzystaniem algorytmu LQR. Algorytm sterowania LQR został wybrany ze względu na to, że sygnał sterujący jest generowany na podstawie stanu całego obiektu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów kratownicy oraz charakteryzuje się prostym zapisem matematycznym. Strukturę kratownicy przyjęto analogiczną jak w badaniach symulacyjnych układu sterowania modalnego [3].

2. Model matematyczny

2.1. Założenia

2.1.1. Struktura kratownicy

Do badań symulacyjnych przyjęto 2-wymiarową konstrukcję kratową o długości 2 m, szerokości 0,25 m oraz wysokości 0,25 m. Kratownica zbudowana jest z 33 prętów, połączonych ze sobą w 18 węzłach. Kratownica ma 33 stopnie swobody. Założono, że pręty wykonane są ze stali 45 oraz mają przekrój kołowy o powierzchni 0,001 m2. Do obliczeń przyjęto następujące właściwości stali 45: moduł Younga - 2,1X105 MPa oraz gęstość ? 7860 kg/m3. Przyjęto założenie, że węzły nie mają masy. Schemat modelowanej kratownicy przedstawiono na rys. 2.


Rys. 2. Schemat modelowanej kratownicy

Tab. 1. Parametry aktuatora piezoelektrycznego

Wielkość Symbol Jednostka Wartość
Długość L0 m 0,02
Średnica d m 0,02
Maksymalna siła generowana Fp N 3500
Maksymalna zmiana długośći ?L0 mm 21
Sztywność kp N/mm 165

2.1.2. Budowa aktywnego pręta

Do badań symulacyjnych przyjęto, że aktywny pręt zawiera komercyjny aktuator piezoelektryczny PAHL 18/20 firmy Piezosystem Jena. Podstawowe wielkości charakteryzujące ten aktuator przedstawiono w tabeli 1 [6].
Założono, że w badaniach symulacyjnych nie zostaną zamodelowane pozostałe elementy aktywnego pręta, m.in. łączniki z węzłami kratownicy, sprężyna generująca obciążenie wstępne. Konstrukcja aktywnego pręta kratownicy jest trudnym zagadnieniem i stanowi przedmiot badań w wielu laboratoriach. Generowanie siły przez aktywny pręt możliwe jest wtedy, gdy wyeliminowana zostanie możliwość zmiany wymiarów aktuatora, przy czym zmiany te są rzędu mikrometrów. Przykłady konstrukcji aktywnych prętów przedstawiono w [1, 18].

2.2. Model matematyczny kratownicy

2.2.1. Równanie ruchu

Równanie ruchu kratownicy [11]:

gdzie: q(t) są to przemieszczenia węzłów kratownicy, u(t) jest to sygnał sterujący, p(t) - zakłócenie, [M] - macierz bezwładności, [C] - macierz tłumienia, [Ks] - macierz sztywności, [E] - macierz lokacji sterowań w strukturze kratownicy.
Zależność (1) to 33 równania różniczkowe. Kratownica przedstawiona na rys. 2 została zamodelowana w programie MATLAB, co pozwoliło na wyznaczenie macierzy mas [M] oraz sztywności [Ks]. W dalszych obliczeniach przyjęto model tłumienia proporcjonalnego, zgodnie z którym macierz tłumienia [C] jest wyznaczona z zależności [11]:

gdzie: α wymiarowy współczynnik proporcjonalności. Współczynnik ? został wyznaczony ze wzoru:

gdzie: ϒ - bezwymiarowy współczynnik tłumienia, ω - częstość drgań własnych modelowanej kratownicy. W dalszych obliczeniach przyjęto stałą wartość współczynnika tłumienia: ϒ = 0,01 oraz wybrano jedną z wyznaczonych częstości własnych: ω 33 = 4,2207 rad/s.

2.2.2. Model w przestrzeni stanów

W projektowaniu algorytmu sterowania LQR wykorzystywany jest model matematyczny w przestrzeni stanów. Przyjęto więc następujący wektor stanu x(t) [11]:

gdzie: [A] - macierz stanu, [B] - macierz sterowań, [H] - macierz zakłóceń.

Konwersja modelu przedstawionego zależnością (1) do postaci przedstawionej zależnością (3) wiąże się z podwojeniem liczby równań różniczkowych. W modelu (1) równań było 33, a w modelu (3) tych równań jest już 66. Liczba równań w modelu (3) jest równa wymiarowi wektora stanu n.

2.3. Model matematyczny aktuatora

Przyjęto, że aktuator jest zbudowany w formie stosu, złożonego z określonej liczby płytek piezoelektrycznych. Schemat pojedynczej płytki przedstawiono na rys. 3.


Rys. 3. Schemat płytki materiału piezoelektrycznego

Równania wiążące zmienne mechaniczne ze zmiennymi elektrycznymi dla płytki z rys. 3 [5, 10, 13]:

gdzie: Fp - siła generowana przez piezoelektryk, kp - sztywność piezoelektryka, Vp - przyłożone napięcie do piezoelektryka, α - współczynnik proporcjonalności między siłą generowaną przez piezoelektryk a przyłożonym napięciem do piezoelektryka, Ip - natężenie prądu w piezoelektryku, C0 - pojemność piezoelektryka.
W badaniach symulacyjnych założono, że konstrukcja aktywnego pręta uniemożliwia zmianę wymiarów aktuatora (ΔL = 0), stąd generuje on siłę zgodnie z zależnością:

Dla przyjętego materiału piezoelektrycznego PZT-5A w aktuatorze wyznaczono współczynnik proporcjonalności α równy 0,0656 na podstawie zależności przedstawionej w [5] oraz stałych materiałowych w [16].

3. Algorytm sterowania kratownicą

3.1. Algorytm LQR

Przy założeniu pełnej dostępności pomiarowej wektora stanu x(t), poszukiwane prawo sterowania ma postać [17]:

gdzie: [K] - macierz wzmocnień, [R] - macierz chwilowych kosztów odchyłki sterowania od wartości zerowych, [P] - symetryczne, dodatnio określone rozwiązanie równania Riccatiego.
Optymalne wartości wzmocnień w macierzy [K] wyznacza się na podstawie minimalizacji wskaźnika jakości:

gdzie: Q - macierz chwilowych kosztów odchyłki wektora stanu od wartości zerowych.
Schemat blokowy układu sterowania przedstawiono na rys. 4.


Rys. 4. Schemat blokowy układu sterowania z algorytmem LQR

3.2. Algorytm LQR z obserwatorem stanu

Techniczna realizacja algorytmu przedstawionego w punkcie 3.1 wymaga pomiaru całego wektora stanu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów kratownicy. Wyeliminowanie tej konieczności jest możliwe dzięki zastosowaniu algorytmu sterowania, w którym wektor stanu jest odtwarzany na podstawie pomiaru sterowania oraz wyjść z kratownicy. Poszukiwane prawo sterowania ma postać

Jednym z możliwych rozwiązań jest zastosowanie pełnego obserwatora Luenbergera do estymacji wektora stanu. Schemat blokowy algorytmu sterowania, z odtwarzaniem wektora stanu, został przedstawiony na rys. 5 [12].
Równanie obserwatora z rys. 5:

gdzie: [L] - macierz wzmocnień obserwatora, y(t) jest to wyjście z układu.
Przy założeniu, że [D] = 0, równania układu zamkniętego z regulatorem LQR i pełnym obserwatorem stanu [8]:


Rys. 5. Schemat blokowy układu sterowania z algorytmem LQR i pełnym obserwatorem stanu Luenbergera

gdzie: w(t) - zakłócenie działające na obiekt.

4. Badania symulacyjne kratownicy

4.1. Założenia

Charakterystyka inteligentnej kratownicy jako obiektu sterowania: a) wielkość wyjściowa y(t): przemieszczenie 18 węzła w kierunku osi y (rys. 2). Węzeł ten został wybrany ze względu na to, że jest jednym z dwóch węzłów najbardziej oddalonych od utwierdzenia kratownicy. W związku z tym przyjęto założenie, że wartości przemieszczenia tego węzła powinny być większe od wartości przemieszczenia węzłów 2-16 w przypadku działania zakłócenia w(t), którego przebieg został przedstawiony na rys. 6,
b) wielkość zadana z(t): 0,
c) zakłócenie zewnętrzne w(t): jest to siła działająca na węzeł 18 w kierunku osi y. Przebieg zakłócenia przedstawiono na rys. 6.


Rys. 6. Przebieg zakłócenia zewnętrznego

d) w badaniach symulacyjnych przyjęto 3 przypadki rozmieszczenia aktywnych prętów (rys. 7):
? dwa aktywne pręty, generujące siłę w węzłach 2 i 3,
? dwa aktywne pręty, generujące siły w węzłach 3 i 4,
? trzy aktywne pręty, generujące siły w węzłach 2, 3 i 4.
Wybór lokalizacji aktywnych prętów w strukturze kratownicy został przyjęty na podstawie analizy odpowiedzi układu przy różnych lokalizacjach aktywnych prętów. W analizie przyjęto kryterium najkrótszego czasu, w jakim przemieszczenie węzła 18, które jest odpowiedzią całego układu, nie będzie przekraczać założonej wartości (±0,0001 m). Najbardziej optymalne rozmieszczenia aktywnych prętów, ze względu na to kryterium, zostały przedstawione na rys. 7.

4.2. Wyniki badań symulacyjnych

Macierze Q i R mają postać:

W celu ustalenia jednakowych mas dla wszystkich zmiennych stanu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów, przyjęto macierz Q jako macierz diagonalną z wartościami niezerowych elementów wynoszącymi 1. Wartości elementów macierzy R zostały wyznaczone metodą kolejnych prób [9].


Rys. 7. Rozmieszczenie aktywnych prętów w kratownicy


Rys. 8. Wynik sterowania dla lokalizacji nr 1

Wyznaczone w symulacjach przemieszczenie węzła 18 w kierunki osi y dla lokalizacji aktywnych prętów z rys. 7 przedstawiono odpowiednio na rys. 8, 10 i 12. Uzyskane w symulacjach wyniki wskazują, że możliwe jest uzyskanie efektywnego sterowania, dzięki zastosowaniu układu sterowania z algorytmem LQR w celu generowania sił sterujących w odpowiednio wybranych węzłach kratownicy. Przebieg sił sterujących, generowanych przez aktywne pręty, przedstawiono odpowiednio na rys. 9, 11, 13.

5. Podsumowanie

Na podstawie badań symulacyjnych oraz przeglądu literatury, można wyciągnąć następujące wnioski:
- zastosowanie aktywnych prętów, generujących siły w wybranych węzłach konstrukcji kratowej, umożliwia sterowanie drganiami takiej konstrukcji. Należy jednak rozwiązać problem praktyczny, jakim jest konstrukcja aktywnego pręta, pozwalająca po przyłożeniu napięcia na generowanie siły przez aktuator piezoelektryczny;


Rys. 9. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr 1


Rys. 10. Wynik sterowania dla lokalizacji nr 2


Rys. 11. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr 2


Rys. 12. Wynik sterowania dla lokalizacji nr 3


Rys. 13. Przebieg sił sterujących dla lokalizacji nr 3

- najkrótszy czas, w którym pozycja, wybranego jako wyjście, węzła 18 kratownicy powróciła do stanu przed wystąpieniem zakłócenia w postaci siły (rys. 6) uzyskano dla lokalizacji aktywnych prętów, przedstawionej na rys. 7. Lokalizacje te charakteryzują się tym, że każdy z aktywnych prętów jest z jednej strony połączony z utwierdzeniem kratownicy. Należy zaznaczyć, że sformułowane wnioski są poprawne dla przedstawionych wcześniej założeń dotyczących charakteru zakłócenia;
- wyniki badań symulacyjnych wskazują na to, że zastosowanie algorytmu LQR pozwala na efektywne sterowanie inteligentną kratownicą. Jednak taki algorytm jest trudno realizowalny w rzeczywistości, gdyż wymaga pomiaru całego wektora stanu, czyli przemieszczeń i prędkości wszystkich węzłów kratownicy. Istnieje możliwość wyeliminowania tej konieczności poprzez generowanie prawa sterowania na podstawie wektora stanu, estymowanego na podstawie pomiaru sygnału sterującego oraz wybranych wyjść z układu.
Wykonano w ramach pracy statutowej nr 11.11.130.560. AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Automatyzacji Procesów.

Bibliografia

1. Anderson E. H., Moore D. M., Fanson J. L., Development of an active truss element for control of precision structures. Optical Engineeing, 1990, vol. 29, nr 11, 1333-1341
2. Bueno D., Marqui C., Santos R., Neto C., Lopes V., Experimental active vibration control in truss structures considering uncertainties in system parameters. Mathematical Problems in Engineering, 2008.
3. Carvalhal R., Silva S., Lopes V., Modal control applications in intelligent truss structures. ABCM Symposium Series in Mechatronics, 2004, vol. 1, 304-310.
4. Grzybek D., Aktuatory piezoelektryczne w inteligentnych kratownicach. "Pomiary Automatyka Robotyka", 2011, nr 11, 63-67.
5. Grzybek D., Wykorzystanie mechanizmu przetwarzania energii w materiałach piezoelektrycznych do sterowania drganiami. "Czasopismo Techniczne", 2011, nr 1, 51-59.
6. [www.piezosystem.com/uplads/media/PAHL_ ds_2010_08_03.pdf].
7. Jing G., Yu M., Yong-yi W., Experimental study on the mode of active truss. "Energy Procedia-, 2012, nr 17, 24-31.
8. Kaczorek T., Teoria sterowania i systemów. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
9. Koziński W., Projektowanie regulatorów. Wybrane metody klasyczne i optymalizacyjne. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2004.
10. Lefeuvre E., Sebald G., Guyomar D., Lallart M., Richard C., Materials, structures and power interfaces for efficient piezoelectric energy harvesting. Journal of Electroceram 2009, nr 22, 171-179.
11. Lewandowski R., Dynamika konstrukcji budowlanych. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, 2006.
12. Ogata K., Matlab for control engineers. Pearson Prentice Hall, 2008.
13. Qiu J., Jiang H., Ji H., Zhu K., Comparison between four piezoelectric energy harvesting circuits. Front. Mech. Eng. China, 2009, nr 4(2), 153-159.
14. Sciocsio F., Gasbarri P., Marianetti C., Toglia Ch., Control of vibrations of the international space station with piezoelectric actuators. International Astronautical Federation, 2005.
15. Song G., Vlattas J., Johnson S. E., Agraval B. N., Active vibration control af a space truss using a lead zirconate stack actuator. Preceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 2001, vol. 215, 355-361.
16. Wstęp do piezoelektroniki. Praca zbiorowa. Wydawnictwa Komunikacjii Łączności. Warszawa 1980.
17. Wysocki M., Sterowanie wielowymiarowe. Projektowanie liniowych układów stacjonarnych w przestrzeni stanów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2004.
18. Zheng K., Zhang Y., Yang Y., Yan S., Dou L., Chen J., Active vibration control of adaptive truss structure using fuzzy neutral network. Preceedings of Chinese Control and Decision Conference, 2008.
Dariusz Grzybek
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Automatyzacji Procesów
Źródło: PAR
O nas  ::  Regulamin  ::  Polityka prywatności (Cookies)  ::  Reklama  ::  Mapa stron  ::  FAQ  ::  Kontakt
Ciekawe linki: www.klimatyzacja.pl  |  www.strony.energoelektronika.pl  |  promienniki podczerwieni
Copyright © Energoelektronika.pl